题目:设 \\( a, b, c \\) 是正实数,用柯西不等式证明 \\( (a + b + c)( \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c} ) =9 \\)。
解:
1. 应用柯西不等式:
柯西不等式表明,对于任意的实数 \\( x_1, x_2, \\ldots, x_n \\) 和 \\( y_1, y_2, \\ldots, y_n \\),我们有
\\[ (x_1^2 + x_2^2 + \\cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \\cdots + y_n^2) \\geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \\cdots + x_ny_n)^2 \\]
2. 选择合适的 \\( x_i \\) 和 \\( y_i \\):
用\\( x_i \\) 和 \\( y_i \\) 来表示 \\( a, b, c \\) 和 \\( \\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, \\frac{1}{c} \\)。我们可以令
\\[x_1 = \\d x_2 = \\d x_3 = \\d y_1 = \\d y_2 = \\d y_3 = \\sqrt{c} \\]
3. 应用柯西不等式:
根据柯西不等式,我们有
\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \\geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \\]
4. 简化右边的表达式:
将 \\( x_i \\) 和 \\( y_i \\) 的值代入,我们得到
\\[ (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 = (\\} + \\sqrt{b}\\sqrt{b} + \\sqrt{c}\\ + b + c)^2 \\]
5. 得出结论:
因此,我们有
\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) \\geq (a + b + c)^2 \\]
6. 使用算术平均数-几何平均数不等式(am-gm 不等式):
根据 am-gm 不等式,对于任何非负实数 \\( x \\) 和 \\( y \\),有
\\[ \\frac{x + y}{2} \\geq \\sqrt{xy} \\]
等号成立当且仅当 \\( x = y \\)。
7. 应用 am-gm 不等式:
将 \\( a + b + c \\) 看作是三个数的和,应用 am-gm 不等式,我们有
\\[ \\frac{(a + b + c)}{3} \\geq \\bc}\\]
8. 得出结论:
因此,我们有
\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) \\geq 3\\bc} \\cdot 3\\c{1}{abc}} = 9 \\]
综上所述,我们证明了 \\( (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) \\=9 \\)。
徐武放下粉笔,向白发魔点点头,直接回到下面第一排的位置上坐下了。
“呵呵呵,徐武同学很不错,刚才我说的随时生效,你可以选择来与不来都可以。”白发魔发出特有的笑声说道,让大家都明白徐武做对了,但这种情况每次都会发生,大家都习惯了,不像之前一样喧哗出声,只是为徐武的才华感到惊艳罢了。
“接下来我们继续上课,大家打开课本,翻到上一次讲到的内容,今天我们接着继续学习。”白发魔的话音让大家的注意力回到课本上,很有节奏的讲起了内容。
后面的课就是平平淡淡了,除了外语课上欧阳娜娜的一场问答,其他的课程都